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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

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3. Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican
g) $f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}, x=1, x=-1^{+}, x=-1^{-}$

Respuesta

Límites en un punto

Arrancamos primero con los límites cuando $x$ tiende a $-1$ por derecha y por izquierda:

$\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} $

En este caso el numerador tiende a $6$ y el denominador tiende a $0$ ¿por derecha o por izquierda? Si te cuesta darte cuenta, como te comenté en la clase, literalmente poné en la calculadora un $-1$ por derecha, es decir, algo como $-0.9999...$, elevalo al cuadrado y restale $1$... Vas a ver que te va a quedar un número muy parecido al cero, pero negativo ;) Por lo tanto,

$\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = - \infty$

Ahora, mismo razonamiento para el límite cuando $x$ tiende a $-1$ por izquierda y nos queda...

$\lim _{x \rightarrow -1^-} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = + \infty$

Bueno, ahora viene el momento problemático, que es cuando tomamos límite cuando $x$ tiende a $1$. Veamos lo que pasa:

$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} $

Chan, tenemos un "cero sobre cero". Eso es una indeterminación y tenemos que salvarla. Como te comenté en la primera clase de límites, a lo largo de la materia este tipo de indeterminaciones las vamos a salvar usando la Regla de L'Hopital, pero como todavía acá no la vimos tendríamos que usar otra forma. Salvar este límite con L'Hopital sale casi a ojo (confía en mi jaja). La manera de salvarlo en este momento sería factorizando las expresiones del numerador y denominador y esperando que algo que se me cancele. En este caso numerador y denominador se factorizan así:

$ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2(x - \frac{1}{2})(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} $ Cancelamos los $(x-1)$ $ \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{1}{2}$ 

Son funciones cuadráticas, para factorizarlas buscás las raíces y las escribís en forma factorizada como vimos en la clase de función cuadrática. No es difícil, pero te repito, esta indeterminación se salva mucho más rápido con L'Hopital y sin tener que factorizar nada. 

Límites a $\pm \infty$

$ \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = 2 $
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Avatar Benjamin 25 de abril 16:55
Flor, que tal todo bien, una duda, cuando nos piden calcular un limite que tiende a un numero en especifico, en este caso 1, para ver a que numero esta tendiendo tanto por derecha e izquierda, para entenderlo y verlo, es mejor reemplazar en las X justamente, ese numero que nos estan pidiendo, o numeros que se le acerquen (tanto por Derecha e IZQ)? Osea basicamente, me conviene para decir el limite, por ejemplo en este caso, en las X poner el uno y calcular, o verlo desde derecha e izquierda (0,9999... -0,9999)? La pregunta es en general jajaj, osea no solo para este caso! Desde ya muchas gracias
Avatar Flor Profesor 25 de abril 19:37
@Benjamin Se entendió perfecto! Mirá, primero te conviene "reemplazar" el número al que está tendiendo para ver en qué situación estás. Por ejemplo, si estás tomando límite cuando $x$ tiende a $1$, primero para hacer un análisis de la situación a ver dónde estás parado reemplazas $x$ por $1$... Por ejemplo, ahí puede ser que te des cuenta que estás frente a un "cero sobre cero", y no tengas que abrir por derecha y por izquierda (como pasa por ejemplo en este caso cuando hicimos el límite cuando $x$ tiende a $1$)

Ahora, si cuando reemplazas $x$ por $1$ te das cuenta que lo de arriba tiende a un número y lo de abajo tiende a cero, ahí si necesitás abrir por derecha y por izquierda para ver el signo de infinito, entonces abrís el límite por derecha y por izquierda y ahí si lo pensás como $0.9999...$ (por izquierda) o como $1.000...$ (por derecha)

Se entiende mejor?
Avatar Benjamin 25 de abril 20:48
Si! Gracias
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