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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 4: Límites y Continuidad

3. Calcule, si se puede, los límites en el infinito, además de los límites en los puntos que se indican
g) f(x)=2x23x+1x21,x=1,x=1+,x=1f(x)=\frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}, x=1, x=-1^{+}, x=-1^{-}

Respuesta

Límites en un punto

Arrancamos primero con los límites cuando xx tiende a 1-1 por derecha y por izquierda:

limx1+2x23x+1x21\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}

En este caso el numerador tiende a 66 y el denominador tiende a 00 ¿por derecha o por izquierda? Si te cuesta darte cuenta, como te comenté en la clase, literalmente poné en la calculadora un 1-1 por derecha, es decir, algo como 0.9999...-0.9999..., elevalo al cuadrado y restale 11... Vas a ver que te va a quedar un número muy parecido al cero, pero negativo ;) Por lo tanto,

limx1+2x23x+1x21=\lim _{x \rightarrow -1^+} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = - \infty

Ahora, mismo razonamiento para el límite cuando xx tiende a 1-1 por izquierda y nos queda...

limx12x23x+1x21=+\lim _{x \rightarrow -1^-} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = + \infty

Bueno, ahora viene el momento problemático, que es cuando tomamos límite cuando xx tiende a 11. Veamos lo que pasa:

limx12x23x+1x21\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}

Chan, tenemos un "cero sobre cero". Eso es una indeterminación y tenemos que salvarla. Como te comenté en la primera clase de límites, a lo largo de la materia este tipo de indeterminaciones las vamos a salvar usando la Regla de L'Hopital, pero como todavía acá no la vimos tendríamos que usar otra forma. Salvar este límite con L'Hopital sale casi a ojo (confía en mi jaja). La manera de salvarlo en este momento sería factorizando las expresiones del numerador y denominador y esperando que algo que se me cancele. En este caso numerador y denominador se factorizan así:

limx12(x12)(x1)(x1)(x+1) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2(x - \frac{1}{2})(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} Cancelamos los (x1)(x-1) limx12x1x+1=12 \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2x - 1}{x + 1} = \frac{1}{2} 

Son funciones cuadráticas, para factorizarlas buscás las raíces y las escribís en forma factorizada como vimos en la clase de función cuadrática. No es difícil, pero te repito, esta indeterminación se salva mucho más rápido con L'Hopital y sin tener que factorizar nada. 

Límites a ±\pm \infty

limx±2x23x+1x21=2 \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{2 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1} = 2
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ExaComunidad
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Benjamin
25 de abril 16:55
Flor, que tal todo bien, una duda, cuando nos piden calcular un limite que tiende a un numero en especifico, en este caso 1, para ver a que numero esta tendiendo tanto por derecha e izquierda, para entenderlo y verlo, es mejor reemplazar en las X justamente, ese numero que nos estan pidiendo, o numeros que se le acerquen (tanto por Derecha e IZQ)? Osea basicamente, me conviene para decir el limite, por ejemplo en este caso, en las X poner el uno y calcular, o verlo desde derecha e izquierda (0,9999... -0,9999)? La pregunta es en general jajaj, osea no solo para este caso! Desde ya muchas gracias
Flor
PROFE
25 de abril 19:37
@Benjamin Se entendió perfecto! Mirá, primero te conviene "reemplazar" el número al que está tendiendo para ver en qué situación estás. Por ejemplo, si estás tomando límite cuando xx tiende a 11, primero para hacer un análisis de la situación a ver dónde estás parado reemplazas xx por 11... Por ejemplo, ahí puede ser que te des cuenta que estás frente a un "cero sobre cero", y no tengas que abrir por derecha y por izquierda (como pasa por ejemplo en este caso cuando hicimos el límite cuando xx tiende a 11)

Ahora, si cuando reemplazas xx por 11 te das cuenta que lo de arriba tiende a un número y lo de abajo tiende a cero, ahí si necesitás abrir por derecha y por izquierda para ver el signo de infinito, entonces abrís el límite por derecha y por izquierda y ahí si lo pensás como 0.9999...0.9999... (por izquierda) o como 1.000...1.000... (por derecha)

Se entiende mejor?
1 Responder
Benjamin
25 de abril 20:48
Si! Gracias
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